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【題目】已知函數且在上的最大值為

1)求函數f(x)的解析式;

(2)判斷函數f(x)在(0π)內的零點個數,并加以證明

【答案】122個零點.

【解析】

1)由題意,可借助導數研究函數上的單調性,確定出最值,令最值等于,即可得到關于a的方程,由于a的符號對函數的最值有影響,故可以對a的取值范圍進行討論,分類求解;(2)借助導數研究函數fx)在(0π)內單調性,由零點判定定理即可得出零點的個數.

(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),對于任意的x(0, )

sinx+xcosx>0,a=0,f(x)= ,不合題意;

a<0,x(0,),f′(x)<0,從而f(x)(0, )單調遞減,

又函數f(x)=axsinx (aR)[0, ]上圖象是連續不斷的,

故函數在[0, ]上的最大值為f(0),不合題意;

a>0,x(0, ),f′(x)>0,從而f(x)(0, )單調遞增,

又函數f(x)=axsinx (aR)[0, ]上圖象是連續不斷的,

故函數在[0, ]上上的最大值為f()=a=,解得a=1

綜上所述,

(2)函數f(x)(0,π)內有且僅有兩個零點。證明如下:

(I),f(x)=xsinx,從而有f(0)= <0,f()=π32>0

又函數在[0, ]上圖象是連續不斷的,所以函數f(x)(0, )內至少存在一個零點,

又由(I)f(x)(0, )單調遞增,故函數f(x)(0, )內僅有一個零點。

x[,π],g(x)=f′(x)=sinx+xcosx

g()=1>0,g(π)=π<0,g(x)[,π]上的圖象是連續不斷的,

故存在m,π),使得g(m)=0.

g′(x)=2cosxxsinx,x(,π),g′(x)<0

從而g(x)[,π]上單調遞減。

x,m),g(x)>g(m)=0,f′(x)>0

從而f(x)(,m)內單調遞增

故當x(,m),f(x)>f(π2)=π32>0

從而(x)(,m)內無零點;

x(m,π),g(x)<g(m)=0,f′(x)<0

從而f(x)(,m)內單調遞減。

f(m)>0,f(π)<0f(x)[m,π]上的圖象是連續不斷的,

從而f(x)[m,π]內有且僅有一個零點。

綜上所述,函數f(x)(0,π)內有且僅有兩個零點。

練習冊系列答案
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【題目】在銳角ABC中,a2_______,求ABC的周長l的范圍.

在①(﹣cossin),(cossin),且,②cosA(2bc)=acosC,③f(x)=cosxcos(x)f(A)

注:這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并對其進行求解.

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【題目】將含有甲、乙、丙的6名醫護人員平均分成兩組到AB兩家醫院參加防疫救護工作,則甲、乙至少有一人在A醫院且甲、丙不在同一家醫院參加防疫救護工作的概率為(

A.B.C.D.

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【題目】某工廠生產某種電子產品,每件產品合格的概率均為,現工廠為提高產品聲譽,要求在交付用戶前每件產品都通過合格檢驗,已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗件該產品,且每件產品檢驗合格與否相互獨立.若每件產品均檢驗一次,所需檢驗費用較多,該工廠提出以下檢驗方案:將產品每個()一組進行分組檢驗,如果某一組產品檢驗合格,則說明該組內產品均合格,若檢驗不合格,則說明該組內有不合格產品,再對該組內每一件產品單獨進行檢驗,如此,每一組產品只需檢驗一次或次.設該工廠生產件該產品,記每件產品的平均檢驗次數為

1的分布列及其期望;

2)(i)試說明,當越大時,該方案越合理,即所需平均檢驗次數越少;

ii)當時,求使該方案最合理時的值及件該產品的平均檢驗次數.

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【題目】已知函數,若存在非零實數,使得點都在的圖象上,則實數的取值范圍是______.

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【題目】如圖是一位發燒病人的體溫記錄折線圖,下列說法不正確的是(

A.病人在51312時的體溫是

B.病人體溫在5140時到6時下降最快

C.從體溫上看,這個病人的病情在逐漸好轉

D.病人體溫在51518時開始逐漸穩定

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【題目】關于函數有下述四個結論:

①函數的圖象把圓的面積兩等分

是周期為的函數

③函數在區間上有3個零點

④函數在區間上單調遞減

其中所有正確結論的編號是(

A.①③④B.②④C.①④D.①③

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【題目】廠家在產品出廠前,需對產品做檢驗,廠家將一批產品發給商家時,商家按合同規定也需隨機抽取一定數量的產品做檢驗,以決定是否接收這批產品.

1)若廠家庫房中(視為數量足夠多)的每件產品合格的概率為 從中任意取出 3件進行檢驗,求至少有 件是合格品的概率;

2)若廠家發給商家 件產品,其中有不合格,按合同規定 商家從這 件產品中任取件,都進行檢驗,只有 件都合格時才接收這批產品,否則拒收.求該商家可能檢驗出的不合格產品的件數ξ的分布列,并求該商家拒收這批產品的概率.

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【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別是,離心率,過點的直線交橢圓兩點, 的周長為16.

(1)求橢圓的方程;

(2)已知為原點,圓 )與橢圓交于兩點,點為橢圓上一動點,若直線軸分別交于兩點,求證: 為定值.

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