Question

若集合具有以下性質：

①，；

②若，則，且時，.

則稱集合是“好集”.

（Ⅰ）分別判斷集合，有理數集是否是“好集”，并說明理由；

（Ⅱ）設集合是“好集”，求證：若，則；

（Ⅲ）對任意的一個“好集”，分別判斷下面命題的真假，并說明理由.

命題：若，則必有；

命題：若，且，則必有；

Answer 1

解：（Ⅰ）集合不是“好集”. 理由是：假設集合是“好集”.

因為，，所以. 這與矛盾.

　 ………………………………………2分

有理數集是“好集”. 因為，,

對任意的，有，且時，.

所以有理數集是“好集”.　　　　　　　 ………………………………………4分

（Ⅱ）因為集合是“好集”，21世紀教育網

所以 .若，則，即.

所以，即.　　　　 ………………………………………7分

（Ⅲ）命題均為真命題. 理由如下：　　 ………………………………………9分

對任意一個“好集”，任取，

若中有0或1時，顯然.

下設均不為0，1. 由定義可知：.

所以 ，即.

所以 .

由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.

若或，則顯然.

若且，則.

所以 .

所以

由（Ⅱ）可得：.

所以 .

綜上可知，，即命題為真命題.

若，且，則.

所以 ，即命題為真命題.　 ……………………………………14分