Question

四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，又PA=PD，∠APD=60°，E、G分別是BC、PE的中點．
（1）求證：AD⊥PE；
（2）求二面角E-AD-G的正切值．

Answer 1

分析：（1）取AD的中點O，連接OP，OE，由等腰三角形三線合一，及OE∥AB，可得OE⊥AD，又由側面PAD⊥底面ABCD，我們易得到AD⊥平面OPE．再由線面垂直的性質定理可得到AD⊥PE；
（2）有兩種解法，一是取OE的中點F，連接FG，OG，結合（1）的結論，我們易得∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角，解三角形GOE即可得到答案；二是建立空間坐標系，確定各個頂點的坐標，及平面ADE及平面ADG的法向量，然后代入向量夾角公式，我們易求出二面角E-AD-G的余弦值，進而求出二面角E-AD-G的正切值．

解答：證明：（1）如圖，取AD的中點O，連接OP，OE∵PA=PD，∴OP⊥AD又E是BC的中點，
∴OE∥AB，∴OE⊥AD．又OP∩OE=0，∴AD⊥平面OPE．
而PE?平面OPE，∴AD⊥PE
（2）
解法一：
取OE的中點F，連接FG，OG，則由（1）易知AD⊥OG，又OE⊥AD，
∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角
∵PA=PD，∠APD=60°，∴△APD為等邊三角形，且邊長為2
∴OP=

3

2

×2=

3

，FG=

1

2

OP=

3

2

，OF=

1

2

CD=

2

2

=1，∴OG=

7

2

∴cos∠GOE=

2 7

7

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0，

3

），E（0，2，0）
∴G(0，1，

3

2

)，

DA

=(2，0，0)，

DG

=(1，1，

3

2

)．設平面ADG的法向量為n=（x，y，z）
由

n• DA =0 n• DG =0

，得

2x=0 x+y+ 3 2 z=0

∴n=(0，-

3

2

，1)又平面EAD的一個法向量為

OP

=(0，0，

3

)
又因為cos＜n，

OP

＞=

n• OP

|n|•| OP |

=

3

7 2 • 3

=

2 7

7

則sin＜n，

OP

＞=

5 7

7

，tan＜n，

OP

＞=

5

2

∴二面角E-AD-G的正切值為

5

2

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質及用空間向量求平面間的夾角，其中求二面角的值時，一是幾何法，關鍵是找到二面有的平面角，二是向量法，關鍵是求出兩個平面的法向量．