Question

如圖，直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，AD=，BC=．橢圓C以A、B為焦點且經過點D
（1）建立適當坐標系，求橢圓C的方程；
（2）（文）是否存在直線l與橢圓C交于M、N兩點，且線段MN的中點為C，若存在，求l與直線AB的夾角，若不存在，說明理由．
（理）若點E滿足=，問是否存在不平行AB的直線l與橢圓C交于M、N兩點且|ME|=|NE|，若存在，求出直線l與AB夾角的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立直角坐標系，求出對應的點A，D，B，C的坐標，再利用橢圓C以A、B為焦點且經過點D
得到關于a，b，c之間的關系式，求出a，b，c即可．
（2）（文）先假設直線存在，把直線方程設出來，再與橢圓C的方程聯立，利用點差法和中點坐標公式求出直線的斜率，再檢驗是否符合要求即可．
（理）先求出點E的坐標，再假設直線存在，把直線方程設出來與橢圓C的方程聯立，得到關于點M、N的坐標的方程．①又因為|ME|=|NE|，可得點E在MN的中垂線上，與①想結合可得結論．
解答：解析：（1）如圖，以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸建立直角坐標系，⇒A（-1，0），B（1，0）

設橢圓方程為：+=1
令x=C⇒y=∴⇒
∴橢圓C的方程是+=1
（2）（文）l⊥AB時不符合，
∴設l：y-=k（x-1）（k≠0）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）⇒+=1，+=1⇒+=0
∵∴=-=-，即k=-，
∴l：y-=-（x-1），即y=-x+2，經驗證：l與橢圓相交，
∴存在，l與AB的夾角是arctan，．
（理）=⇒E（0，），l⊥AB時不符，
設l：y=kx+m（k≠0）
由⇒（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
M、N存在⇒△＞0⇒64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-12）＞0⇒4k²+3＞m²
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點F（x，y）
∴x==-，y=kx+m=
|ME|=|NE⇒|MN⊥EF
⇒=-⇒=-⇒m=-
∴4k²+3＞
∴4k²+3＜4
∴0＜k^2＜1
∴-1＜k＜1且k≠0
∴l與AB的夾角的范圍是（0，45°）．
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及向量共線問題．在求以某一定點為中點的弦的方程時，一般方法是將弦的兩端點坐標代入曲線方程，兩式相減，即可確定弦的斜率，然后有點斜式得出弦的方程．