Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D為C₁B的中點，P為AB邊上的動點．
（Ⅰ）當點P為AB的中點時，證明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱錐B-CDP的體積．

Answer 1

（I）連接DP、AC₁，
∵△ABC₁中，P、D分別為AB、BC₁中點
∴DP∥AC₁，
∵AC₁⊆平面ACC₁A₁，DP?平面ACC₁A₁，
∴DP∥平面ACC₁A₁
（II）由AP=3PB，得PB=

1

4

AB=

1

2

過點D作DE⊥BC于E，則DE∥CC₁且DE=

1

2

CC₁
又∵CC₁⊥平面ABC，∴DE⊥平面BCP
∵CC₁=3，∴DE=

3

2

∵S_△BCP=

1

2

×2×

1

2

×sin60°=

3

4

∴三棱錐B-CDP的體積v=

1

3

×

3

4

×

3

2

=

3

8