Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD⊥側(cè)面PAB，△PAB是等邊三角形，DA＝AB＝2，BC＝AD，E是線段AB的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：PE⊥CD；

(Ⅱ)求PC與平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5661/0019/c3708c576e2144d4112a1ae74ecf6681/C/Image54.gif" width=42 height=17>側(cè)面，平面， 　　所以． 　　又因?yàn)椤?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5661/0019/c3708c576e2144d4112a1ae74ecf6681/C/Image55.gif" width=34 height=17>是等邊三角形，是線段的中點(diǎn)，所以． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5661/0019/c3708c576e2144d4112a1ae74ecf6681/C/Image61.gif" width=92 HEIGHT=20>，所以平面． 　　而平面，所以．5分 　　(Ⅱ)解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 　　則，，，． 　　，，． 　　設(shè)為平面的法向量． 　　由即 　　令，可得；9分 　　設(shè)與平面所成的角為． 　　． 　　所以與平面所成角的正弦值為．12分