Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，則x²+y²+2x+2y的最小值是   

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定x+y的取值范圍，然后設(shè)c=x²+y²+2x+2y，整理成（x+1）²+（y+1）²=c+2的形式后轉(zhuǎn)化為可行域上的點(diǎn)到（-1，-1）的距離的平方的最小值的問(wèn)題求解．
解答：解：∵f'（x）＜0∴該函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)
∵f（x+y）≤1=f（4）
∴x+y≥4
設(shè)c=x²+y²+2x+2y，則（x+1）²+（y+1）²=c+2，表示可行域上的點(diǎn)到（-1，-1）的距離的平方，也表示一個(gè)圓
當(dāng)x+y-4=0與這樣的圓相切時(shí)，其半徑最小，即可行域上的點(diǎn)到（-1，-1）的距離最小
∴=18=c+2∴c=16
故答案為：16
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系以及轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問(wèn)題求最小值的問(wèn)題．綜合比較強(qiáng)．