Question

（2012•瀘州二模）已知等差數列{a_n}的首項為a，公差為b，等比數列{b_n}的首項為b，公比為a，n=1，2，…，其中a，b均為正整數，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若對于{a_n}，{b_n}，存在關系式a_m+1=b_n，試求b的值；
（Ⅲ）對于滿足（Ⅱ）中關系式的a_m，試求a₁+a₂+…+a_m．

Answer 1

分析：（I）由題設可求，a_n，b_n，結合已知a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．可得a＜3，由a為正整數可求a
（II）由a_m+1=b_n，a=2可求得b=

3

2n-1-(m-1)

，由b＞a=2且b為正整數 可求
（III）由（II）知，m=2^n-1，a_n=3n-1，代入a₁+a₂+…+a_m=（3•1-1）+（3•2-1）+…（3•2^n-1-1），利用分組求和，結合等差數列的求和公式可求

解答：解：（I）由題設知，a_n=a+（n-1）b，bn=b•an-1（1分）
由已知可得，a＜b＜a+b＜ab＜a+2b
∴b＜ab，a＞1（2分）
∴ab＜a+2b＜3b又∵b＞0
∴a＜3（3分）
∵a為正整數
∴a=2（4分）
（II）a_m+1=b_n，可得a+（m-1）+1=b•a^n-1（5分）
∵a=2
∴3+（m-1）b=b•2^n-1則b=

3

2n-1-(m-1)

（6分）
∵b＞a=2且b為正整數∴2^n-1-（m-1）=1（7分）
∴b=3（8分）
（III）由（II）知，m=2^n-1，a_n=3n-1
∴a₁+a₂+…+a_m=（3•1-1）+（3•2-1）+…（3•2^n-1-1）（9分）
=

3(1+2+3+…+2n-1)

2

-n
=

(2+3•2n-1-1)•2n-1

2

（11分）
=3•2^2n-3+2^n-2（12分）

點評：本題主要考查了等差數列與等比數列的通項公式的應用，求和公式的應用，解答本題還要求考生具備一定的綜合應用知識的能力