Question

【題目】一個四棱錐的三視圖如圖所示．

（1）求證：PA⊥BD；

（2）在線段PD上是否存在一點Q，使二面角Q－AC－D的平面角為30°？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）＝．

【解析】

試題分析：（1）由三視圖，可知四棱錐的底面是正方形，側面是全等的等腰三角形，所以該四棱錐是一個正四棱錐．作出它的直觀圖，根據線面垂直的判定與性質，可證出PA⊥BD；（2）假設存在點Q，使二面角Q-AC-D的平面角為30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，可證出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，結合三角函數的計算可得＝．

試題解析：（1）由三視圖可知P－ABCD為四棱錐，底面ABCD為正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，連接AC、BD交于點O，連接PO．

因為BD⊥AC，BD⊥PO，所以BD⊥平面PAC，

即BD⊥PA．

（2）由三視圖可知，BC＝2，PA＝2，假設存在這樣的點Q，因為AC⊥OQ，AC⊥OD，

所以∠DOQ為二面角Q－AC－D的平面角，

在△POD中，PD＝2， OD＝，則∠PDO＝60°，

在△DQO中，∠PDO＝60°，且∠QOD＝30°．

所以DP⊥OQ．所以OD＝，QD＝．

所以＝．