Question

（2013•和平區二模）設S_n為正項數列{a_n}的前n項和，且Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（II）設bn=

an+1

an

+

an

an+1

，且數列{b_n}的前n項和T_n，證明：2n＜Tn＜2n+

2

3

．

Answer 1

分析：（I）再寫一式，兩式相減，結合{a_n}是正項數列，可得數列是等差數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（II）確定數列的通項，利用基本不等式，結合裂項求和，即可證得結論．

解答：（I）解：∵Sn=

1

4

an2+

1

2

an-

3

4

∴Sn-1=

1

4

an-12+

1

2

an-

3

4

（n≥2）
兩式相減可得an=

1

4

(an2-an-12)+

1

2

（a_n-a_n-1）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵{a_n}是正項數列，∴a_n-a_n-1=2（n≥2）
∵a1=S1=

1

4

a12+

1

2

a1-

3

4

∴a₁=3
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（II）證明：∵

2n+3

2n+1

＞0，

2n+1

2n+3

＞0，且

2n+3

2n+1

≠

2n+1

2n+3

∴bn=

an+1

an

+

an

an+1

=

2n+3

2n+1

+

2n+1

2n+3

＞2

2n+3 2n+1 • 2n+1 2n+3

=2
∴T_n＞2n
∵b_n=

2n+3

2n+1

+

2n+1

2n+3

=2+2（

1

2n+1

-

1

2n+3

）
∴T_n=2n+2（

1

3

-

1

5

）+2（

1

5

-

1

7

）+…+2（

1

2n+1

-

1

2n+3

）=2n+2（

1

3

-

1

2n+3

）＜2n+

2

3

∴2n＜Tn＜2n+

2

3

．

點評：本題考查數列的通項與求和，考查裂項法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．