Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）當時，求的最大值；

（Ⅱ）若對，恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明．

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）運用導數與函數的單調性的關系等知識直接求解；（2）先對函數進行求導，再運用分類討論的方法對不等式進行分析轉化再運用導數知識求解；（3）先借助（1）的結論建立不等式，再運用疊加法、放縮法分析推證。

試題解析：

解：（Ⅰ）當時，，，

，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減；

∴函數的最大值．

（Ⅱ），∵，∴．

①當時，恒成立，

∴在上是減函數，∴適合題意．

②當時，，

∴在上是增函數，∴，

不能使在恒成立．

③當時，

令，得，

當時，，

∴在上為增函數，

∴，不能使在恒成立，

∴的取值范圍是．

（Ⅲ）由（Ⅰ）得，

∴（），

取，

，則，

∴

，

∴，

∴．