Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=2，，E是PB上任意一點．
（I）求證：AC⊥DE；
（II）已知二面角A-PB-D的余弦值為，若E為PB的中點，求EC與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

（I）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC
又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD，∵DE?平面PBD
∴AC⊥DE
（II）解：分別以OA，OB，OE方向為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設PD=t，則
由（I）知：平面PBD的法向量為，
令平面PAB的法向量為，則根據得∴
因為二面角A-PB-D的余弦值為，則，即，∴
∴
設EC與平面PAB所成的角為θ，
∵，
∴
分析：（I）證明線線垂直，正弦證明線面垂直，即證AC⊥平面PBD；
（II）分別以OA，OB，OE方向為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設PD=t，用坐標表示點，求得平面PBD的法向量為，平面PAB的法向量為，根據二面角A-PB-D的余弦值為，可求t的值，從而可得P的坐標，再利用向量的夾角公式，即可求得EC與平面PAB所成的角．
點評：本題考查線線垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定，利用空間向量解決線面角問題，屬于中檔題．