Question

如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AD=2BC=2CD=4，E為AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起，使二面角A-BE-C是直二面角，并連接AC，AD得到四棱錐A-BCDE，如圖2．
（1）求四棱錐A-BCDE的體積；
（2）若M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，求證：MN∥平面ABE．

Answer 1

解：（1）∵AD=2BC=4，E為AD的中點(diǎn)，∴BE∥CD
又∵AD⊥CD∴BE⊥AE，BE⊥ED∴∠AED是二面角A-BE-C所成的二面角，即∠AED=90°
而BE∩ED=E，BE，ED⊆平面BCDE∴AE⊥平面BCDE∵AE=2，S_BCDE=4∴四棱錐A-BCDE的體積．
（2）證明：作AE的中點(diǎn)F，連接NF，BF
∵N是AD的中點(diǎn)，∴NF∥BC，NF=BC
又∵M(jìn)分別是BC的中點(diǎn)，∴BM∥NF，BM=NF，
∴四邊形BMNF是平行四邊形，∴MN∥BF
∵M(jìn)N?平面ABE，BF?平面ABE，
∴MN∥平面ABE．
分析：根據(jù)折起后幾何圖形的性質(zhì)，判斷椎體的高與底面，根據(jù)椎體的體積公式求解即可；
根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，判定線線平行，再通過線線平行證線面平行．
點(diǎn)評(píng)：本題考查椎體的體積計(jì)算與線面平行關(guān)系的證明．證明線面平行的方法：法一，線線平行?線面平行；法二，面面平行?線面平行．