Question

已知函數f（x）=cos x+

1

2

x，x∈[-

π

2

，

π

2

]，sin x₀=

1

2

，x₀∈[-

π

2

，

π

2

]，那么下面命題中真命題的序號是

①③

①f（x）的最大值為f（x₀）；
②f（x）的最小值為f（x₀）
③f（x）在[-

π

2

，x0]上是增函數；
④f（x）在[x0，

π

2

]上是增函數．

Answer 1

分析：由于sinx₀=

1

2

，x₀∈[-

π

2

，

π

2

]求出x₀，利用導函數求出原函數的最值及其在[-

π

2

，

π

2

]上的單調區間．

解答：解：因為sinx₀=

1

2

，x₀∈[-

π

2

，

π

2

]，∴x₀=

π

6

；
又函數的導數為f′（x）=

1

2

-sinx，
由f′（x）=

1

2

-sinx＞0，解得sinx＜

1

2

，
又因為x∈[-

π

2

，

π

2

]，所以-≤

π

2

x＜

π

6

時，函數單調遞增，
由f′（x）=

1

2

-sinx＜0，解得sinx＞

1

2

，
又因為x∈[-

π

2

，

π

2

]，所以

π

6

＜x≤

π

2

時，函數單調遞減，
所以①③正確；
故答案為：①③．

點評：本題通過命題真假的判定考查了導數在研究函數單調性中的應用，導數在研究函數單調性中的應用是高考必考內容．