Question

設函數f（x）=x²+kln（x+2），其中k≠0
（Ⅰ）當k＞2判斷f（x）在（-2，+∞）上的單調性．
（Ⅱ）討論 f（x）的極值點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數f（x）定義域，求導函數，判斷其符號，可得f（x）在（-2，+∞）上的單調性；
（Ⅱ）分類討論：（1）當k≥2時，由（Ⅰ）知f（x）無極值點；（2）當k＜2時，利用導數的正負確定函數的單調性，從而可得函數的極值點．

解答：解：由題設函數f（x）定義域是（-2，+∞），…（1分）
函數f′(x)=2x+

k

x+2

=

2x2+4x+k

x+2

…①…（2分）
（Ⅰ）當k＞2時，①式的△=16-8k=8（2-k）＜0，∴2x²+4x+k＞0，又x+2＞0，
∴f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＞0…（4分）
∴f（x）在（-2，+∞）上的單調遞增． …（5分）
（Ⅱ）（1）當k≥2時，由（Ⅰ）知f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

≥0，
∴f（x）在（-2，+∞）上的單調遞增，故f（x）無極值點．…（7分）
（2）當k＜2時，由2x²+4x+k=0解得x=

-2± 4-2k

2

，此時f′（x）=0（8）
當x＜

-2- 4-2k

2

或x＞

-2+ 4-2k

2

時，2x²+4x+k＞0
當

-2- 4-2k

2

＜x＜

-2+ 4-2k

2

時，2x²+4x+k＜0…（8分）
1°當k≤0時，

-2- 4-2k

2

≤-2，-2＜x＜

-2+ 4-2k

2

時，f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＜0，x＞

-2+ 4-2k

2

，f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＞0，
∴f（x）在(-2 ， 

-2+ 4-2k

2

)上單減，在(

-2+ 4-2k

2

 ， +∞)上單增，
∴x=

-2+ 4-2k

2

為極小值點，無極大值點．…（10分）
2°當0＜k＜2時，

-2- 4-2k

2

＞-2，
當-2＜x＜

-2- 4-2k

2

或x＞

-2+ 4-2k

2

時，f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＞0

-2- 4-2k

2

＜x＜

-2+ 4-2k

2

時，f′(x)=

2x2+4x+k

x+2

＜0
∴f（x）在(

-2- 4-2k

2

 ， 

-2+ 4-2k

2

)上單減，在(-2 ， 

-2- 4-2k

2

)和(

-2+ 4-2k

2

 ， +∞)上單增，∴x=

-2- 4-2k

2

為極大值點，x=

-2+ 4-2k

2

為極小值點．…（12分）
綜上，k≤0時，x=

-2+ 4-2k

2

為極小值點，無極大值點；0＜k＜2時，x=

-2- 4-2k

2

為極大值點，x=

-2+ 4-2k

2

為極小值點；k≥2時，f（x）無極值點．　　　　　　　　　　　　　　…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，解題的關鍵是正確求導，恰當分類，屬于中檔題．