Question

【題目】已知函數h（x）＝x2ex，f（x）＝h（x）﹣aex（a∈R）．

（Ⅰ）求函數h（x）的單調區間；

（Ⅱ）若x1，x2∈（1，2），且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，求a的取值范圍；

（Ⅲ）若函數f（x）有兩個不同的極值點x1，x2，求證：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增區間是（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；減區間是（﹣2，0）．（Ⅱ）（3，8）．（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求得函數的導數，根據函數f（x）導數的符號，然后確定原函數的單調性；

（Ⅱ）要滿足題意，只需函數在（1，2）內有增有減，即存在極值點，則問題轉化為函數的導數在（1，2）內存在變號根即可；

（Ⅲ）先求出f（x）的兩個極值點，然后對兩個極值點的函數值結合單調性作比較來證明結論．

（Ⅰ）h（x）＝x2ex，∴h′（x）＝ex（x2+2x），

當x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）的增區間是（﹣∞，﹣2），（0，+∞）；

當x∈（﹣2，0）時，h′（x）＜0，所以h（x）的減區間是（﹣2，0）．

（Ⅱ）依題意，函數f（x）＝ex（x2﹣a）在（1，2）上不是單調函數，

因為f（x）是連續函數，所以f（x）在（1，2）上需有極值，

由于f′（x）＝ex（x2+2x﹣a），即x2+2x﹣a＝0在（1，2）內有變號根，

令u（x）＝x2+2x﹣a，顯然該函數在（1，2）上遞增，

故需，即，解得3＜a＜8，

所以a的范圍是（3，8）．

（Ⅲ）由h（x）＝x2ex，f（x）＝h（x）﹣aex，則f（x）＝x2ex﹣aex，

可得f′（x）＝ex（x2+2x﹣a），

設方程ex（x2+2x﹣a）＝0的兩個不等實根是x1，x2，

則首先滿足△＝4+4a＞0，解得a＞﹣1，

又由x2+2x﹣a＝0，解得，，此時x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣a．

隨著x的變化，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（﹣∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以x1是函數f（x）的極大值點，x2是f（x）的極小值點．所以f（x1）是極大值，f（x2）是極小值，

，

又因為，所以

所以．