Question

已知動點M到點F（1，0）的距離，等于它到直線x=-1的距離．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點F任意作互相垂直的兩條直線l₁，l₂，分別交曲線C于點A，B和M，N．設線段AB，MN的中點分別為P，Q，求證：直線PQ恒過一個定點；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求△FPQ面積的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設動點M的坐標為（x，y），
由題意得，，
化簡得y²=4x，
所以點M的軌跡C的方程為y²=4x．（4分）
（Ⅱ）設A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則點P的坐標為．
由題意可設直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），
由得k²x2-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0．
因為直線l₁與曲線C于A，B兩點，
所以x₁+x₂=2+，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=．
所以點P的坐標為．
由題知，直線l₂的斜率為，同理可得點的坐標為（1+2k²，-2k）．
當k≠±1時，有，
此時直線PQ的斜率k_PQ=．
所以，直線PQ的方程為，
整理得yk²+（x-3）k-y=0．
于是，直線PQ恒過定點E（3，0）；
當k=±1時，直線PQ的方程為x=3，也過點E（3，0）．
綜上所述，直線PQ恒過定點E（3，0）．（10分）
（Ⅲ）可求得|EF|=2，
所以△FPQ面積．
當且僅當k=±1時，“=”成立，所以△FPQ面積的最小值為4．（13分）
分析：（Ⅰ）設動點M的坐標為（x，y），由題意得，由此能求出點M的軌跡C的方程．
（Ⅱ）設A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點P的坐標為．由題意可設直線l₁的方程為y=k（x-1）（k≠0），由得k²x2-（2k²+4）x+k²=0．再由根的判別式和根與系數的關系進行求解．
（Ⅲ）題題設能求出|EF|=2，所以△FPQ面積．
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系和綜合應用，具有一定的難度，解題時要認真審題，注意挖掘隱含條件，仔細解答．