Question

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)。

（1）求直線AD與平面PBC的距離。

（2）若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

Answer 1

解（1）如圖（1），在矩形ABCD中，AD∥BC，從而AD∥平面PBC，故直線AD與平面PBC的

距離為點(diǎn)A到平面PBC的距離（2分）。因?yàn)镻A⊥AB，由PA=AB知  PAB為等腰直角三角形，又點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD內(nèi)和射影，由三垂線定理得BC⊥PB，從而B(niǎo)C⊥PAB（4分）。故BC⊥AE，從而AE⊥平面PBC，故AE的長(zhǎng)即為直線AD與平面PBC的距離，在RtPAB中，PA=AB=，所以。……………………………………6`

（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥CE，交CE于F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CE，交AC于G，則∠DFG為所求的二面角的平面角。……………………………………………8`

由（1）知BC⊥平面PAB，又AD⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，從而DE=。

在RtCBE中，.由CD=，知CDE為等邊三角形，故F為CE的中點(diǎn)，且

因?yàn)锳E⊥平面PBC，故AE⊥CE。又FG⊥CE，知從而，且G點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，連接DG，則在中，…………………………………………10`

所以

所以二面角A-EC-D的平面角的余弦值為。…………………………12`

解法2：（1）如圖（2），以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

射線AB、AD、AP分別為軸、軸、軸

正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-。

設(shè)………2`

因此，，則所以AE⊥平面PBC。……………………4`

又由AD∥BC加AD∥平面PBC，故直線AD與平面PBC的距離為點(diǎn)A到平面PBC的距離，即為………………………………………………6`

（2）因?yàn)?sub>

設(shè)平面AEC的法向量

又

所以…………8`

設(shè)平面DEC的法向量

則

又故

所以……………………10`

故…………………………………………12`

所以三角形A-EC-D的平面角的余弦值為。