Question

【題目】在數(shù)列{an}中，an＞0，a1= ，如果an+1是1與 的等比中項(xiàng)，那么a1+ + + +… 的值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵an+1是1與 的等比中項(xiàng)，
∴ = ，
又∵an＞0，a1= ，
∴ = ，即：15 ﹣4a2﹣4=0，
解得：a2= 或a2=﹣ （舍），
猜想：an= ．下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)有ak= ，則 = ，
∴ = ，即 ﹣ ak﹣1=0，
∴（ ak+1﹣1）（ +1）=0，解得：ak+1= 或ak+1=﹣ （舍），
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；
由（1）（2）可知an= ．
∴a1+ + + +… = + + +…+
=（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）
=1﹣
= ，
所以答案是： ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．