Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件b²+c²-bc=a²和

c

b

=

1

2

+

3

，求∠A和tanB的值．

Answer 1

分析：根據(jù)余弦定理表示出cosA，把已知條件b²+c²-bc=a²代入化簡后，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值及cosA大于0即可得到∠A；利用三角形的內(nèi)角和定理和∠A表示出∠C與∠B的關(guān)系，然后根據(jù)正弦定理得到

c

b

與

sinC

sinB

相等，把∠C與∠B的關(guān)系代入到

sinC

sinB

中，利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后得到一個(gè)關(guān)于cotB的方程，求出方程的解即可得到cotB的值，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系即可得到tanB的值．

解答：解：由b²+c²-bc=a²，根據(jù)余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

＞0，則∠A=60°；
因此，在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=120°-∠B．
由已知條件，應(yīng)用正弦定理

1

2

+

3

=

c

b

=

sinC

sinB

=

sin(120°-B)

sinB

=

sin120°cosB-cos120°sinB

sinB

=

3

2

cotB+

1

2

，
解得cotB=2，從而tanB=

1

2

．
所以∠A=60°，tanB=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦、正弦定理化簡求值，靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，是一道中檔題．