Question

【題目】兩城市和相距，現計劃在兩城市外以為直徑的半圓上選擇一點建造垃圾處理場，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關，對城和城的總影響度為城和城的影響度之和，記點到城的距離為，建在處的垃圾處理場對城和城的總影響度為，統計調查表明：垃圾處理場對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為4，對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為，當垃圾處理場建在的中點時，對城和城的總影響度為0.065；

（1）將表示成的函數；

（2）判斷上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理場對城和城的總影響度最小?若存在，求出該點到城的距離；若不存在，說明理由；

Answer 1

【答案】（1）；

（2）存在，該點到城市A的距離時，總影響度最小；

【解析】

（1）根據“垃圾處理場對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為4，對城的影響度與所選地點到城的距離的平方成反比，比例系數為”，建立函數模型：，再根據當時，，求得即可.

（2）總影響度最小，即為：求的最小值時的狀態，令，將函數轉化為：，再用基本不等式求解.

（1）由題意得，

又當時，，

，.

（2），

令，則，

當且僅當，即時，等號成立，

弧上存在一點，使建在此處的垃圾處理場對城和城的總影響度最小.