Question

13．已知函數$f（x）=\sqrt{-{x^2}+2x+8}$的定義域為集合A，函數g（x）=lg（-x²+6x+m）的定義域為集合B．
（1）當m=-5時，求A∩∁_UB；
（2）若A∩B={x|-1＜x≤4}，求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）由偶次根號下被開方數大于等于零列出不等式求出A，由真數大于零列出不等式求出B，由補集的運算求出∁_UB，由交集的運算求出A∩∁_UB；
（2）由條件、交集的運算、一元二次不等式的解法，列出關于m的方程，求出實數m的值．

解答 解：（1）由-x²+2x+8≥0得-2≤x≤4，
∴集合A=[-2，4]，
當m=-5時，g（x）=lg（-x²+6x+m）=lg（-x²+6x-5），
由-x²+6x-5＞0得1＜x＜5，
∴集合B=（1，5），則∁_UB=（-∞，1]∪[5，+∞）
∴A∩C_UB=[-2，1]；
（2）∵A=[-2，4]，A∩B={x|-1＜x≤4}=（-1，4]，
且集合B={x|-x²+6x+m＞0 }，
∴-1是方程-x²+6x+m=0其中一個根，
則-1-6+m=0，解得m=7，
∴實數m的值是7．

點評 本題考查交、并、補集的混合運算，一元二次不等式的解法，以及函數的定義域求法，屬于基礎題．