Question

已知直線y=ａx+1與雙曲線３x²-y²=1交于A、B兩點,(1)若以AB為直徑的圓過坐標原點,求實數a的值;(2)是否存在這樣的實數a,使A、B兩點關于直線對稱?若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)由消去y,得(3-a²)x²-2ax-2=0.①

依題意

即且.    ②

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則

∵以AB為直徑的圓過原點,∴OA⊥OB.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

但y₁y₂=a²x₁x₂+a(x₁+x₂)+1,

由③④,,.

∴.

解得a=±1且滿足②.

(2)假設存在實數a,使A、B關于對稱,則直線y=ax+1與垂直,

∴a,即a=-2.

直線l的方程為y=-2x+1.

將a=-2代入③得x₁+x₂=４.

∴AB中點橫坐標為2,

縱坐標為y=-2×2+1=-3.

但AB中點(2,-3)不在直線上,

即不存在實數a,使A、B關于直線對稱.