Question

如圖，已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2,AE=BE=．
（I）求證：平面EAB⊥平面ABCD；
（II）求二面角A-EC-D的余弦值．

Answer 1

（I）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接EO,CO    
∵AE=EB=,AB=2
∴△AEB為等腰直角三角形     
∴EO⊥AB,EO=1
又∵AB=BC,∠ABC=60°    
∴△ACB是等邊三角形    
∴CO=，又EC=2    
∴EC²=EO²+CO²，∴EO⊥CO
∴EO⊥平面ABCD，又EO平面EAB    
∴平面EAB⊥平面ABCD
（II）以AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B所在直線為y軸,OE所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則
∴
設(shè)平面DCE的法向量
∴，即，解得 ，∴
    設(shè)平面的法向量，
即，解得
∴，
∵
所以二面角A-EC-D的余弦值為