Question

已知函數f（x）=x³-3ax²+3x+1
（1）設a=2，求f（x）的單調增區間；
（2）設f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數大于0，可得f（x）的單調增區間；
（2）f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點，等價于方程f′（x）=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區間（2，3）有解．

解答：解：（1）f（x）的定義域是R，f′（x）=3x²-6ax+3，
當a=2時，f′（x）=3x²-12x+3=3（x²-4x+1），令f′（x）＞0，可得x²-4x+1＞0
解得：x＜2-

3

或x＞2+

3

∴f（x）的單調增區間是(-∞，2-

3

)和(2+

3

，+∞)；
（2）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點，等價于方程3x²-6ax+3=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區間（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=

1

2

(x+

1

x

)，
令g（x）=

1

2

(x+

1

x

)，求導函數可得g′（x）=

1

2

(1-

1

x2

)
∴g（x）在（2，3）上單調遞增，
∴

5

4

＜

1

2

(x+

1

x

)＜

5

3

，
∴

5

4

＜a＜

5

3

，此時滿足△＞0，
故a的取值范圍是

5

4

＜a＜

5

3

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是f（x）在區間（2，3）中至少有一個極值點轉化為方程f′（x）=0在其判別式△＞0（即a＞1或a＜-1）的條件下在區間（2，3）有解．