Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F是BC的中點，點E在D₁C₁上，且D₁E=

1

4

D₁C₁，試求直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：以D點為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間坐標系，設正方體棱長為1，求出平面D₁AC的法向量

DB1

，以及向量

EF

的坐標，求出這兩個向量的夾角的余弦值，此值就是直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值．

解答：解：設正方體棱長為1，以

DA

，

DC

，

DD1

為單位正交基底，
建立如圖所示坐標系D-xyz，
則各點的坐標分別為B₁（1，1，1），E(0，

1

4

，1)，F(

1

2

，1，0)，（2分）
所以

DB1

=(1，1，1)，

EF

=(

1

2

，

3

4

，-1)，（4分）

DB1

為平面D₁AC的法向量，
cos＜

DB1

，

E F

＞=

DB1 • EF

| DB1 || EF |

=

1× 1 2 +1× 3 4 -1×1

3 × 1 4 + 9 16 +1

=

87

87

．（8分）
所以直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值為

87

87

．（10分）

點評：本題主要考查了直線與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．