【題目】設函數
(1)求函數的解析式;
(2)設,是否存在實數a,使得當
時,恒有
成立,若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)存在,
.
【解析】
(1)將y=ax+3a作為方程利用指數式和對數式的互化解出x,然后確定原函數的值域即為反函數的定義域;
(2)設h(x)=f﹣1(x)+g(x),然后求出h(x)在閉區間[a+2,a+3]上的最小值與最大值,使最大值與最小值都小于等于1,建立不等式組進行求解即可.
(1)設y=ax+3a,則且ax=y﹣3a,
兩邊取對數得:x=loga(y﹣3a),
所以f﹣1(x)=loga(x﹣3a)()
(2)因為x∈[a+2,a+3]時,函數有意義,所以(a+2)﹣3a=2﹣2a>0,所以0<a<1,設h(x)=f﹣1(x)+g(x),則,二次函數u=x2﹣4ax+3a2的對稱軸為x=2a<2,
所以u=x2﹣4ax+3a2在x∈[a+2,a+3]上為增函數,
當x=a+2時,取得最小值4(1﹣a),當x=a+3時取得最大值3(3﹣2a)
從而可得在閉區間[a+2,a+3]上的最小值與最大值分別為loga3(3﹣2a),loga4(1﹣a)
當x∈[a+2,a+3]時,恒有|f﹣1(x)+g(x)|≤1成立的充要條件為
解得.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某區工商局、消費者協會在月
號舉行了以“攜手共治,暢享消費”為主題的大型宣傳咨詢服務活動,著力提升消費者維權意識.組織方從參加活動的群眾中隨機抽取
名群眾,按他們的年齡分組:第
組
,第
組
,第
組
,第
組
,第
組
,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)若電視臺記者要從抽取的群眾中選人進行采訪,求被采訪人恰好在第
組或第
組的概率;
(Ⅱ)已知第組群眾中男性有
人,組織方要從第
組中隨機抽取
名群眾組成維權志愿者服務隊,求至少有兩名女性的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點
,順次連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為
,點
.
(Ⅰ)求橢圓的方程.
(Ⅱ)已知點,是橢圓
上的兩點.
(ⅰ)若,且
為等邊三角形,求
的面積;
(ⅱ)若,證明:
不可能為等邊三角形.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】新型冠狀病毒肺炎疫情爆發以來,疫情防控牽掛著所有人的心. 某市積極響應上級部門的號召,通過沿街電子屏、微信公眾號等各種渠道對此戰“疫”進行了持續、深入的懸窗,幫助全體市民深入了解新冠狀病毒,增強戰勝疫情的信心. 為了檢驗大家對新冠狀病毒及防控知識的了解程度,該市推出了相關的知識問卷,隨機抽取了年齡在15~75歲之間的200人進行調查,并按年齡繪制頻率分布直方圖如圖所示,把年齡落在區間和
內的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”. 經統計“青少年人”和“中老年人”的人數比為19:21. 其中“青少年人”中有40人對防控的相關知識了解全面,“中老年人”中對防控的相關知識了解全面和不夠全面的人數之比是2:1.
(1)求圖中的值;
(2)現采取分層抽樣在和
中隨機抽取8名市民,從8人中任選2人,求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少?
(3)根據已知條件,完成下面的2×2列聯表,并根據統計結果判斷:能夠有99.9%的把握認為“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相關知識?
了解全面 | 了解不全面 | 合計 | |
青少年人 | |||
中老年人 | |||
合計 |
附表及公式:,其中
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數的定義域為R,且
的圖像過點
.
(1)求實數b的值;
(2)若函數在
上單調遞增,求實數a的取值范圍;
(3)是否存在實數a,使函數在R上的最大值為
?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:=2px經過點
(1,2).過點Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.
(Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍;
(Ⅱ)設O為原點,,
,求證:
為定值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列四個命題
①函數與函數
表示同一個函數;
②奇函數的圖像一定通過直角坐標系的原點;
③若函數的定義域為
,則函數
的定義域為
;
④設函數是在區間
上圖像連續的函數,且
,則方程
在區間
上至少有一實根;
其中正確命題的序號是( )
A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線
的參數方程為
,以坐標原點
為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
.
(1)求曲線與曲線
兩交點所在直線的極坐標方程;
(2)若直線的極坐標方程為
,直線
與
軸的交點為
,與曲線
相交于
兩點,求
的值.
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