Question

（本小題14分）

已知

(Ⅰ)若求的表達式；

（Ⅱ）若函數f (x)和函數g(x)的圖象關于原點對稱，求函數g(x)的解析式；

（Ⅲ）若在上是增函數，求實數l的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  sin²x+2sinx

（Ⅱ）g(x)= -sin²x+2sinx

（Ⅲ）

【解析】本試題主要是考查了三角函數中三角恒等變換，以及三角函數的性質，以及單調性的運用。

（1）因為結合向量，和三角公式得到結論。

（2）設函數y=f (x)的圖象上任一點M(x₀,y₀)關于原點的對稱點為N（x,y）

則x₀= -x,y₀= -y

∵點M在函數y=f (x)的圖象上

,即y= -sin²x+2sinx

利用對稱性得到結論。

（3）設sinx=t,(-1≤t≤1)

則有

根據在上是增函數，那么可知函數中參數的取值范圍。

解：(Ⅰ)

=2+sinx-cos²x-1+sinx=sin²x+2sinx     ……………4分

（Ⅱ）設函數y=f (x)的圖象上任一點M(x₀,y₀)關于原點的對稱點為N（x,y）

則x₀= -x,y₀= -y

∵點M在函數y=f (x)的圖象上

,即y= -sin²x+2sinx

∴函數g(x)的解析式為g(x)= -sin²x+2sinx    ……………9分

（Ⅲ）設sinx=t,(-1≤t≤1)

則有

①    當時，h(t)=4t+1在[-1,1]上是增函數，∴λ= -1

②    當時，對稱軸方程為直線.

ⅰ) 時，，解得

ⅱ)當時，,解得

綜上，.                                ……………14分