Question

（本題滿分12分）

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn).

(Ⅰ) 求橢圓G的方程；

(Ⅱ) 設(shè)、是橢圓G的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)的內(nèi)切圓M的面積是否存在最大值？若存在,求出這個(gè)最大值及直線的方程，若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，即，又，所以

∴橢圓G的方程

 (Ⅱ)如圖,設(shè)內(nèi)切圓M的半徑為,與直線的切點(diǎn)為C，

則三角形的面積等于的面積+的面積+的面積.

即.

當(dāng)最大時(shí),也最大, 內(nèi)切圓的面積也最大, 

設(shè)、(),則,

 

由,得,

 

解得,,

 

∴,令,則,且,

 

有,令,則,

 

當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,有,,

 

即當(dāng),時(shí),有最大值,得,這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積為,

 

∴存在直線,的內(nèi)切圓M的面積最大值為.

【解析】略