Question

已知a＞1，設p：a（x-2）+1＞0，q：（x-1）²＞a（x-2）+1．試尋求使得p、q都成立的x的集合．

Answer 1

分析：先設A={x|a（x-2）+1＞0}，B={x|（x-1）²＞a（x-2）+1}，依題意，求使得p、q都成立的x的集合即是求集合A∩B，
原不等關系轉化成

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

，下面對a進行分類討論：當1＜a＜2時，當a=2時，當a＞2，從而通過解不等式組求得使得p、q都成立的x的集合．

解答：解：設A={x|a（x-2）+1＞0}，B={x|（x-1）²＞a（x-2）+1}，
依題意，求使得p、q都成立的x的集合即是求集合A∩B，
∵

a(x-2)+1＞0 (x-1)2＞a(x-2)+1

⇒

x＞2- 1 a x2-(2+a)x+2a＞0

⇒

x＞2- 1 a (x-a)(x-2)＞0

---（4分）
∴若1＜a＜2時，則有

x＞2- 1 a x＞2或x＜a

，而a-(2-

1

a

)=a+

1

a

-2＞0，
所以a＞2-

1

a

，
即當1＜a＜2時使p、q都成立的x∈{x|x＞2或2-

1

a

＜x＜a}；----（6分）
當a=2時易得使p、q都成立的x∈{x|x＞

3

2

，且x≠2}；----（8分）
若a＞2，則有

x＞2- 1 a x＞a或x＜2

，----（10分）
此時使得P、Q都成立的x∈{x|x＞a或2-

1

a

＜x＜2}．----（12分）．

點評：本小題主要考查交集及其運算、一元二次不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查轉化思想．屬于基礎題．