Question

選修4-5：不等式選講
（I）已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．求證：2＜x₁-x₂＜6，|x₁-x₂|＜2．
（II）設a₁，a₂，a₃均為正數，且a₁+a₂+a₃=k，求證：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥

9

k

．

Answer 1

分析：（I）解不等式|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1，利用不等式同號可加性，可證得2＜x₁-x₂＜6，根據絕對值的性質|x₁-x₂|=|（x₁-2）-（x₂-2）|≤|x₁-2|+|x₂-2|，可證明，|x₁-x₂|＜2．
（II）由a₁，a₂，a₃均為正數，且a₁+a₂+a₃=k，可得k•(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)=(a1+a2+a3)•(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)利用柯西不等式可得(a1+a2+a3)•(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9，進而利用不等式基本性質1，得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1
∴1＜x₁＜3，1＜x₂＜3
∴2＜x₁+x₂＜6…（2分）
∵|x₁-x₂|=|（x₁-2）-（x₂-2）|≤|x₁-2|+|x₂-2|＜1+1=2
∴|x₁-x₂|＜2…（4分）
（Ⅱ）∵k•(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)=(a1+a2+a3)•(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥(

a1

•

1

a1

+

a2

•

1

a2

+

a3

•

1

a3

)2=9…（6分）
又因為k=a₁+a₂+a₃＞0，所以

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

≥

9

k

…（7分）

點評：本題考查的知識點是不等式的證明，熟練掌握絕對值不等式的解法及柯西不等式是解答的關鍵．