Question

已知函數f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且對任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b；
（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區間（0，1）上為單調函數，求實數a的取值范圍．
（3）討論函數的零點個數？（提示：）

Answer 1

解：（1）由f（-x）=（-x）²+bsin（-x）-2=f（x）得b=0．…
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx所以…
依題意，或在（0，1）上恒成立…
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由在（0，1）上恒成立，
可知a≤-4，所以a≥0或a≤-4．…
（3），令．
所以…
令y'=0，則x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y'	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值1	單調遞增	極大值	單調遞減

所以當時，函數無零點；
當k＜1或時，函數有兩個零點；當k=1時，函數有三個零點．當時，函數有四個零點．…
分析：（1）根據f（-x）=f（x）建立等式關系，即可求出b的值；
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區間（0，1）上為單調函數，則在（0，1）上恒成立，然后將a分離出來，研究不等式另一側的最值即可求出a的范圍；
（3）令，研究該函數的單調性和極值，結合圖形可判斷函數的零點個數．
點評：本題主要考查了偶函數的性質，以及函數的單調性和極值等有關基礎知識，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．