Question

已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)

   是曲線在第一象限的交點(diǎn)，且．

（1）求雙曲線的方程；

（2）以雙曲線的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，圓：

    ．過(guò)點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長(zhǎng)為，被圓截得的弦長(zhǎng)為．是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為，

 

∴雙曲線的焦點(diǎn)為、，

設(shè)在拋物線上，且，

由拋物線的定義得，，∴，∴，∴，

_s5u

∴，

又∵點(diǎn)在雙曲線上，由雙曲線定義得，

，∴， ∴雙曲線的方程為：．

（2）為定值．下面給出說(shuō)明．

設(shè)圓的方程為：， _5u∵圓與直線相切，

∴圓的半徑為， 故圓：.

顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不符合題意，

設(shè)的方程為，即，

設(shè)的方程為，即，

∴點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，

∴直線被圓截得的弦長(zhǎng)，

直線被圓截得的弦長(zhǎng)，

∴， 故為定值．