Question

已知定義在實數集R上的偶函數f（x）的最小值為3，且當x≥0時，f（x）=3e^x+a（a為常數）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求最大的整數m（m＞1），使得存在實數t，對任意的x∈[1，m]都有f（x+t）＜3ex．

Answer 1

分析：（1）由y=e^x是增函數，得知f（x）也是（0，+∞）上增函數，再由f（x）為偶函數，則f（x）在（-∞，0）上是減函數，從而當x=0時有最小值求得a值，然后利用偶函數求對稱區間上的解析式即可．
（2）先假設當x∈[1，m]時，存在t∈R，有f（x+t）≤3ex，則有f（1+t）≤3e，下面要選擇解析式，所以要分1+t≥0時和1+t≤0時兩種情況得t的范圍，同樣地，有f（m+t）≤3em及m≥2，得e^m+t≤em轉化為e^t≤

em

em

由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解，只要求得e^t在[-2，0]上的最小值可即可．

解答：解：（1）∵y=e^x是增函數，∴當x≥0時，f（x）為增函數，又f（x）為偶函數，
∴f（x）_min=f（0）=3+a，∴3+a=3．∴a=0
當x＜0時，-x＞0，∴f（x）=f（-x）=3e^-x
綜上，f（x）=

3ex，x≥0 3e-x，x＜0

（2）當x∈[1，m]時，有f（x+t）≤3ex，∴f（1+t）≤3e
當1+t≥0時，有：3e^1+t≤3e，即e^1+t≤e，得到1+t≤1，
∴-1≤t≤0；
當1+t≤0時，同理，-2≤t≤-1，
∴-2≤t≤0
同樣地，f（m+t）≤3em及m≥2，得e^m+t≤em
∴e^t≤

em

em

由t的存在性可知，上述不等式在[-2，0]上必有解．
∵e^t在[-2，0]上的最小值為e^-2，
∴e^-2≤

em

em

，即e^m-e³m≤0①
令g（x）=e^x-e³x，x∈[2，+∞）．
則g'（x）=e^x-e³由g'（x）=0得x=3
當2≤x＜3時，g'（x）＜0，g（x）是減函數；當x＞3時，g'（x）＞0，g（x）是增函數
∴g（x）的最小值是g（3）=e³-3e³=-2e³＜0，
又g（2）＜0，g（4）＜0，g（5）＞0，
∴g（x）=0在[2，+∞）上有唯一解m₀∈（4，5）．
當2≤x≤m₀時，g（x）≤0，當x＞m₀時，g（x）＞0
∴在x∈[2，+∞）時滿足不等式①的最大實數解為m₀
當t=-2，x∈[1，m₀]時，f（x-2）-3ex=3e（e^|x-2|-1-x），
在x∈[1，2）時，
∵e^|x-2|-1=e^1-x≤1
∴f（x-2）-3ex≤0，
在x∈[2，m₀]時，f（x-2）-3ex=3e（ex-3-x）=

3

e2

g（x）≤0
綜上所述，m最大整數為4．

點評：本題主要考查利用奇偶性來求對稱區間上的解析式和應用單調性來解決恒成立問題．這類問題綜合性較強，涉及的知識和方法較多，思路比較繁雜，解題時必須嚴格按照邏輯步驟，層層解決．