Question

（2013•寧德模擬）如圖所示的多面體A₁ADD₁BCC₁中，底面ABCD為正方形，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁2AB=2AA₁=CC₁=DD₁=4，且AA₁⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面CDD₁C₁；
（Ⅱ）求多面體A₁ADD₁BCC₁的體積V．

Answer 1

分析：（I）取DD₁的中點M，連結A₁M，CM，易證四邊形AA₁MD為平行四邊形，進而A₁M∥AD，A₁M=AD，結合底面ABCD為正方形，可得A₁M∥BC，A₁M=BC，即四邊形A₁BCM為平行四邊形，故有A₁B∥CM，結合線面平行的判定定理，可得A₁B∥平面CDD₁C₁；
（Ⅱ）由線面垂直的判定定理可得AB⊥平面A₁ADD₁及BC⊥平面CDD₁C₁，由V=VB-A1ADD1+VB-CDD1C1，代入棱錐體積公式可得答案．

解答：證明：（I）取DD₁的中點M，連結A₁M，CM
由題意可得AA₁=DM=2，AA₁∥DM
∴四邊形AA₁MD為平行四邊形
即A₁M∥AD，A₁M=AD
又由底面ABCD為正方形
∴AD∥BC，AD=BC
∴A₁M∥BC，A₁M=BC
∴四邊形A₁BCM為平行四邊形
∴A₁B∥CM
又∵A₁B?平面CDD₁C₁，CM?平面CDD₁C₁；
∴A₁B∥平面CDD₁C₁；
（II）連結BD
∵AA₁⊥底面ABCD，AB?底面ABCD
∴AA₁⊥AB
又∵AD⊥AB，AD∩AA₁=A
∴AB⊥平面A₁ADD₁，
同理可證BC⊥平面CDD₁C₁，
∴V=VB-A1ADD1+VB-CDD1C1=

1

3

×（

6×2

2

×2+4×2×2）=

28

3

點評：本題主要考查空間線與線，線與面的位置關系，體積的計算等基礎知識；考查空間想象能力、運算求解能力及推理論證能力．