Question

已知圓x²+y²=4，點M（1，0），N（4，0）．
（Ⅰ）若P為圓上動點．
（1）求△PMN重心的軌跡方程；
（2）求證：∠MPN的平分線恒過定點，并求該點坐標；
（Ⅱ）過M作相互垂直的直線分別與圓交于A，C，B，D四點，求四邊形ABCD的面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（1）設重心G、P的坐標，利用三角形重心坐標公式，確定坐標之間的關系，利用P為圓上的點，即可求得△PMN重心的軌跡方程；
（2）求出直線PM、PN的方程，設∠MPN的平分線與x軸交與Q（t，0），列出方程，即可求得結論；
（Ⅱ）先確定AC²+BD²為定值，表示出面積，即可求四邊形ABCD的面積的最大值和最小值．

解答：（Ⅰ）解：（1）設重心G（x，y），P（x₀，y₀），則

x= 1 3 (x0+1+4) y= 1 3 y0 ，&

，∴

x0=3x-5 y0=3y

，
又P（x₀，y₀）為圓上的點，∴

x

2 0

+

y

2 0

=4，∴（3x-5）²+（3y）²=4
化簡并整理得：(x-

5

3

)2+y2=

4

9

…（4分）
（2）證明：∵kPM=

y0

x0-1

，kPN=

y0

x0-4

，∴直線PM：y₀x-（x₀-1）y-y₀=0，PN：y₀x-（x₀-4）y-4y₀=0，
設∠MPN的平分線與x軸交與Q（t，0），則

|(t-1)y0|

y 2 0 +(x0-1)2

=

|(t-4)y0|

y 2 0 +(x0-4)2

，解得t=2，
∴必過Q（2，0）…（8分）
（Ⅱ）解：設弦AC，BD的中點分別為E，F，則OE²+OF²=OM²=1，OE²+CE²=OF²+DF²=4CE²+DF²=（4-OE²）+（4-OF²）=8-（OE²+OF²）=7，AC²+BD²=4（CE²+DF²）=28
∴S2=

1

4

AC2×BD2=

1

4

AC2×(28-AC2)，AC2∈[12，16]
∴4

3

≤S≤7．…（13分）

點評：本題考查關鍵方程，考查直線過定點，考查面積的計算，正確運用代入法是解題的關鍵．