Question

設函數f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²（其中e是自然對數的底數），已知x=-2和x=1為函數f（x）的極值點．
（Ⅰ）求實數a和b的值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）是否存在實數M，使方程f（x）=M有4個不同的實數根？若存在，求出實數M的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用x=-2和x=1為函數f（x）的極值點，可得導數值為0，即可方程，即可求實數a和b的值；
（Ⅱ）由導數的正負，即可確定函數的單調性；
（Ⅲ）確定函數的極大值與極小值，即可知使方程f（x）=M有4個根的M取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）求導函數，可得f′（x）=（x²+2x）e^x-1+3ax²+2bx，…（1分）
∵x=-2和x=1為函數f（x）的極值點，
∴f′（-2）=f′（1）=0，…（2分）
即

-6a+2b=0 3+3a+2b=0

，解得

a=- 1 3 b=-1

，…（3分）
所以，a=-

1

3

，b=-1．…（4分）
（Ⅱ）∵a=-

1

3

，b=-1，∴f′（x）=（x²+2x）e^x-1-x²-2x=（x²+2x）（e^x-1-1），…（5分）
令f′（x）=0，解得x₁=-2，x₂=0，x₃=1，…（6分）
∵令f′（x）＜0，可得x∈（-∞，-2）∪（0，1），令f′（x）＞0，可得x∈（-2，0）∪（1，+∞），…（8分）
∴f（x）在區間（-2，0）和（1，+∞）上是單調遞增的，在區間（-∞，-2）和（0，1）上是單調遞減的．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得f(x)=x2ex-1-

1

3

x3-x2，由（Ⅱ）得函數的極大值為f（x）_極大值=f（0）=0，…（10分）
函數的極小值為f（x）_極小值=f（-2）=

4

e3

-

4

3

，和f（x）_極小值=f（1）=-

1

3

   …（11分）
又

4

e3

-

4

3

＜-

1

3

，…（12分）
f（-3）=（-3）²e^-4+9-9=9e^-4＞0，f（3）=3²e²-9-9=9（e²-2）＞0，…（13分）
通過上面的分析可知，當M∈(-

1

3

，0)時方程f（x）=M恰有4個不等的實數根．
所以存在實數M，使方程f（x）=M有4個根，其M取值范圍為(-

1

3

，0)．…（14分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，考查方程根問題，解題的關鍵是正確求導，確定函數的單調性與極值，屬于中檔題．