Question

8．（文）如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=12CD．M是線段AE上的動點．
（Ⅰ）試確定點M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求三棱錐F-DEM與幾何體ADE-BCF的體積之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AE中點M，連結CE，交DF于N，連結MN，由三角形中位線定理可得MN∥AC，再由線面平行的判定可得AC∥平面MDF；
（Ⅱ）將幾何體ADE-BCF補成三棱柱ADE-B′CF，由幾何體ADE-BCF的體積V_ADE-BCF=V_{三棱柱ADE-BCF}-V_F-BB'C求得幾何體ADE-BCF的體積，由棱錐體積公式求出三棱錐F-DEM的體積，作比得答案．

解答 解：（Ⅰ）當M是線段AE的中點時，AC∥平面MDF．
證明如下：
連結CE，交DF于N，連結MN，
由于M、N分別是AE、CE的中點，
∴MN∥AC，
由于MN?平面MDF，又AC?平面MDF，
∴AC∥平面MDF；
（Ⅱ）如圖，將幾何體ADE-BCF補成三棱柱ADE-B′CF，
三棱柱ADE-B′CF的體積為V=${S}_{△ADE}•CD=\frac{1}{2}×1×1×2=1$，
則幾何體ADE-BCF的體積V_ADE-BCF=V_{三棱柱ADE-BCF}-V_F-BB'C=1-$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}×1×1$）×1=$\frac{5}{6}$．
三棱錐F-DEM的體積V_{三棱錐M-DEF}=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}×1×2$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
故兩部分的體積之比為$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{6}}=\frac{1}{5}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．