Question

（文科做）已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[0，

π

2

]，求：
①

a

•

b

及|

a

+

b

|；
②若f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求實數λ的值．

Answer 1

分析：①利用向量的坐標運算可以求得

a

•

b

及|

a

+

b

|；
②將①中

a

•

b

及|

a

+

b

|的運算式子代入f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|，變形為f（x）=2（cosx-λ）²-2λ²-1，通過分類討論即可解得λ的值．

解答：解：①

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

1

2

x=cos2x；
∵(

a

+

b

)2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2
=1+2cos2x+1
=2+2cos2x
=4cos²x，又x∈[0，

π

2

]，
∴|

a

+

b

|=2cosx．
    ②f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1
=2（cosx-λ）²-2λ²-1
    若λ＞1，f（x）_min=1-4λ＜-3，與題意不符；
    若λ＜0，f（x）_min=-1與題意不符；
    若0≤λ≤1，f（x）_min=-2λ²-1，
    由-2λ2-1=-

3

2

，λ∈[0，1]得λ=

1

2

．
    故實數λ的值為：

1

2

．

點評：本題考查向量的數量積及其運算，解決的關鍵是掌握向量數量積的坐標運算，難點在于對f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cos2x-4λcosx=2cos²x-4λcosx-1的變形與轉化，及分類討論思想的運用．