Question

（本題滿分12分）

設函數且對任意非零實數恒有，且對任意．  

（Ⅰ）求及的值；   

（Ⅱ）判斷函數的奇偶性;

（Ⅲ）求方程的解.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），

（Ⅱ）函數是偶函數.

（Ⅲ）方程的解集為.

【解析】解：（Ⅰ）對任意非零實數恒有，

令代入可得，┈┈ 1分

又令，代入并利用，可得.┈┈ 1分

（Ⅱ）取，代入得，又函數定義域為，

函數是偶函數. ┈┈ 2分

（Ⅲ）函數在上為單調遞增函數，證明如下：

任取且，則，由題設有，

，

，即函數在上為單調遞增函數；┈┈ 4分

由（Ⅱ）函數是偶函數，函數在上為單調遞減函數；┈┈ 1分

解得或，┈┈ 2分

方程的解集為.┈┈ 1分