Question

【題目】已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn ， 向量 =（Sn ， an+1）， =（an+1，4）（n∈N*），且 ∥
（1）求{an}的通項公式
（2）設f（n）= bn=f（2n+4），求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵向量 =（Sn，an+1）， =（an+1，4）（n∈N*），且 ∥ ，

∴Sn= + an+ ，

∴當n≥2時，Sn﹣1= + an﹣1+ ，

兩式相減得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，

∵數列{an}的各項均為正數，

∴當n≥2時，an﹣an﹣1=2，即數列{an}是公差為2的等差數列，

又∵a1=S1= + a1+ ，解得：a1=1，

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；

（2）解：依題意，b1=f（6）=f（3）=a2=5，

b2=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a1=1，

當n≥3時，bn=f（2n+4）=…=f（2n﹣2+1）=2（2n﹣2+1）﹣1=2n﹣1+1，

故n≥3時，Tn=5+1+（22+1）+…+f（2n﹣1+1）

=6+ +（n﹣2）

=2n+n，

綜上可知Tn=

【解析】（1）通過 ∥ 可知Sn= + an+ ，進而與Sn﹣1= + an﹣1+ （n≥2）作差、整理可知數列{an}是公差為2的等差數列，進而計算可得結論；（2）通過（1）可知b1=a2=5、b2=a1=1，當n≥3時bn=2n﹣1+1，整理即得結論．
【考點精析】掌握數列的前n項和是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．