Question

過直角坐標平面xOy中的拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作一條傾斜角為

π

4

的直線與拋物線相交于A、B兩點．
（1）用p表示A，B之間的距離；
（2）證明：∠AOB的大小是與p無關的定值，并求出這個值．

Answer 1

分析：（1）焦點F（1，0），過拋物線的焦點且傾斜角為

π

4

的直線方程是y=x-

p

2

由

y2=2px y=x- p 2

?x2-3px+

p2

4

=0，由此能用p表示A，B之間的距離．
（2）由題設知cos∠AOB=

|AO|2+|BO|2-|AB|2

2|AO||BO|

=

xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2

2 (xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

xAxB+yAyB

(xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

2xAxB- p 2 (xA+xB)+ p2 4

xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]

=-

3 41

41

，由此可知∠AOB的大小是與p無關的定值，并能求出這個定值．

解答：解：（1）焦點F（1，0），過拋物線的焦點且傾斜角為

π

4

的直線方程是y=x-

p

2

由

y2=2px y=x- p 2

?x2-3px+

p2

4

=0?xA+xB=3p，xAxB=

p2

4

?|AB|=x_A+x_B+p=4p
（或|AB|=

2p

sin2 π 4

=4p）

（2）cos∠AOB=

|AO|2+|BO|2-|AB|2

2|AO||BO|

=

xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2

2 (xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

xAxB+yAyB

(xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

2xAxB- p 2 (xA+xB)+ p2 4

xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]

=-

3 41

41

∴∠AOB的大小是與p無關的定值，∠AOB=π-arccos

3 41

41

．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要仔細審題，認真解答．