Question

如右圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是棱DD₁的中點，O為底面ABCD的中心，P為棱A₁B₁上任意一點，則直線OP與直線AM所成的角的大小為（ ）

A．與點P的位置有關
B．45°
C．60°
D．90°

Answer 1

【答案】分析：雖然直線OP為動直線，但其在平面ADD₁A₁上的射影是不變的，依據(jù)三垂線定理，直線AM垂直于斜線在這個平面上的射影，就垂直于這條直線，從而發(fā)現(xiàn)AM恒與OP垂直．
解答：解：取AD中點N，則ON⊥平面ADD₁A₁，A₁N為OP在平面ADD₁A₁上的射影，
在正方形ADD₁A₁中，DM=AN，AD=AA₁，∴Rt△A₁NA≌Rt△AMD
∴AM⊥A₁N
由三垂線定理可知AM⊥OP
點評：本題考查了三垂線定理的運用，解題時要有較強的空間想象力，善于發(fā)現(xiàn)變化中的不變關系，將空間問題轉化為平面問題解決