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精英家教網如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為A1D1和CC1的中點.
(1)求證:EF∥平面ACD1
(2)求面EFB與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大小.
分析:如圖分別以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz,先寫出各點坐標:
(1)取AD1中點G,則G(1,0,1),
CG
=(1,-2,1),又
EF
=(-1,2,-1),證明
EF
CG
共線即可;
(2)設
n
=(x,y,z)
面EFB的一個法向量,再取底面ABCD的一個法向量
m
=(0,0,1)
,兩個法向量的夾角就是所成的銳二面角的大小,從而求解.
解答:精英家教網解:如圖分別以DA、DC、DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz,由已知得D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、
C(0,2,0)、B1(2,2,2)、D1(0,0,2)、E(1,0,2)、F(0,2,1).
(1)取AD1中點G,則G(1,0,1),
CG
=(1,-2,1),又
EF
=(-1,2,-1),由
EF
=-
CG

EF
CG
共線.
從而EF∥CG,
∵CG?平面ACD1,EF?平面ACD1
∴EF∥平面ACD1.(6分)
(2)設
n
=(x,y,z)
面EFB的一個法向量,
n
FE
n
FB
x=1
y=
3
2
z=2

故可取
n
=(1,
3
2
,2)
,(8分)
取底面ABCD的一個法向量
m
=(0,0,1)

cos?
m
,n
?=
m
•n
|
m
||
•n
|
=
4
29
=
4
29
29

所成的銳二面角余弦值的大小為
4
29
29
.(12分)
點評:此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面垂直的夾角問題,因為此題是正方體,圖形比較特殊,利用向量法求解會簡單些,此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題,平時要注意這方面的題.
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