Question

已知函數f（x）=x（x-6）+alnx在x∈（2，+∞）上不具有單調性．
（I）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若f'（x）是f（x）的導函數，設，試證明：對任意兩個不相等正數x₁、x₂，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求函數在x∈（2，+∞）上不具有單調性時實數a的取值范圍，可以考慮求導函數的方法，則導函數在（2，+∞）上即有正也有負，即有零點，求出范圍即可．
（Ⅱ）由（I）求出g（x）的函數表達式，然后求導函數h（x），通過判斷h（x）的單調性求出g'（x），然后可以得到函數是增函數，對任意兩個不相等正數x₁、x₂，即可得到不等式成立．
解答：解：（I），
∵f（x）在x∈（2，+∞）上不具有單調性，∴在x∈（2，+∞）上f'（x）有正也有負也有0，
即二次函數y=2x²-6x+a在x∈（2，+∞）上函數值有負數．
∵y=2x²-6x+a是對稱軸是，開口向上的拋物線，
∴2•2²-6•2+a＜0的實數a的取值范圍（-∞，4）
故答案為（-∞，4）．

（II）由（I），
∵a＜4，∴，（8分）
設，，h（x）在是減函數，在增函數，
當時，h（x）取最小值∴從而g'（x），∴，
函數是增函數，x₁、x₂是兩個不相等正數，
不妨設x₁＜x₂，則
∴，
∵x₂-x₁＞0，∴
∴，即
點評：此題主要考查不等式的證明問題，其中涉及到利用求導函數的方法求函數單調性的問題，涵蓋的考點較多，技巧性強，屬于綜合性試題．