Question

已知函數f（x）=lnx，其導函數為f′（x），令φ（x）=f′（x）．
（1）設g（x）=f（x+a）+φ（x+a），求函數g（x）的極值；
（2）設
（i）求證：；
（ii）是否存在正整數n，使得當n＞n時，都有成立？若存在，求出一個滿足條件的
n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求g（x）的導函數，再確定其單調性，從而確定函數的極值；
（2）（i）先證明，再進行累加可證；（ii）又，由（i）知，從而可以得n＞2010時，有，進一步有，從而可證．
解答：解：（1）因為，∴x∈（-a，1-a]時，函數g（x）為減函數，當x∈[1-a，+∞），函數g（x）為增函數，所以當x=1-a時，函數g（x）取得極小值g（1-a）=1，沒有極大值；
（2）∵
（i）取a=1，由（1）知，當x＞0時有g（x）＞g（0）=1，即，∴，即
令，即，∴
分別取k=1，2，，n并累加得，∴
（ii）又，∴
由（i）知，即
當，即n＞2010時，有
令，∴
∴p（x）在[0，1）上為增函數，∴p（x）＞p（0），∴，∴
∴
分別取k=1，2，，n并累加得
綜上所述，存在正整數n=2010，使得當n＞n時，都有成立．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，考查不等式的證明，難度較大，有一定的技巧．