Question

等差數列{a_n}的前n項和為s_n，，．
（1）求數列{a_n}的通項a_n與前n項和為s_n；
（2）設（n∈N⁺），求證：數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．

Answer 1

【答案】分析：（1）用a₁表示出S₂，進而求得d，則等差數列的通項公式和前n項的和可求．
（2）把（1）中s_n代入b_n，求得b_n，假設數列{b_n}中存在三項b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比數列，則根據等比中項的性質可知b_q²=b_pb_r．把b_p，b_q，b_r代入求得進而推斷出求得p=r，與p≠r矛盾．進而可知假設不成立．
解答：解：（1）由已知得，∴d=2，
故．
（2）由（Ⅰ）得．
假設數列{b_n}中存在三項b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比數列，則b_q²=b_pb_r．
即．
∴，
∵p，q，r∈N^*，
∴，
∴=0，
∴p=r．
與p≠r矛盾．
所以數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成等比數列．
點評：本小題考查數列的基本知識，考查等差數列的概念、通項公式與前n項和公式，考查等比數列的概念與性質，考查化歸的數學思想方法以及推理和運算能力．