Question

已知函數f（x）=x²，g（x）=x-1．
（1）若?x∈R使f（x）＜b•g（x），求實數b的取值范圍；
（2）設F（x）=f（x）-mg（x）+1-m-m²，且|F（x）|在[0，1]上單調遞增，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把?x∈R使f（x）＜b•g（x），轉化為?x∈R，x²-bx+b＜0，再利用二次函數的性質得△=（-b）²-4b＞0，解出實數b的取值范圍；
（2）先求得F（x）=x²-mx+1-m²，再對其對應方程的判別式分△≤0和當△＞0兩種情況，分別找到滿足|F（x）|在[0，1]上單調遞增的實數m的取值范圍，最后綜合即可．
解答：解：（1）由?x∈R，f（x）＜b•g（x），得?x∈R，x²-bx+b＜0，
∴△=（-b）²-4b＞0，解得b＜0或b＞4，
∴實數b的取值范圍是（-∞，0）∪（4，+∞）；
（2）由題設得F（x）=x²-mx+1-m²，
對稱軸方程為，△=m²-4（1-m²）=5m²-4，
由于|F（x）|在[0，1]上單調遞增，則有：
 ①當△≤0即時，有，解得，
 ②當△＞0即或時，設方程F（x）=0的根為x₁，x₂（x₁＜x₂），
若，則，有解得m≥2；
若，即，有x₁＜0，x₂≤0；得F（0）=1-m²≥0，有-1≤m≤1，
∴；
綜上所述，實數m的取值范圍是[-1，0]∪[2，+∞）．
點評：本題的（1）考查了存在性問題，存在性問題是只要能找到即可，并不要求所有的都成立．