Question

（2012•西城區二模）對數列{an}，如果?k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使an+k=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2+…+λkan成立，其中n∈N*，則稱{an}為k階遞歸數列．給出下列三個結論：

①若{an}是等比數列，則{an}為1階遞歸數列；

②若{an}是等差數列，則{an}為2階遞歸數列；

③若數列{an}的通項公式為，則{an}為3階遞歸數列．

其中，正確結論的個數是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

Answer 1

D

【解析】

試題分析：利用等差數列、等比數列和數列{an}的通項公式為的性質，根據k階遞歸數列的定義，逐個進行判斷，能夠求出結果．

【解析】
①∵{an}是等比數列，

∴an=，an+1=qan，

∴?k=1，λ=q，使an+k=qan+k﹣1成立，

∴{an}為1階遞歸數列，故①成立；

②∵{an}是等差數列，

∴an=a1+（n﹣1）d，

∴?k=2，λ1=2，λ2=﹣1，使an+2=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2成立，

∴{an}為2階遞歸數列，故②成立；

③∵若數列{an}的通項公式為，

∴?k=3，λ1=3，λ2=﹣3，λ3=1，使an+3=λ1an+k﹣1+λ2an+k﹣2+λ3an+k﹣3成立，

∴{an}為3階遞歸數列，故③成立．

故選D．