Question

已知函數f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[-1，1]．
（1）求m的值；
（2）解關于x的不等式|x+1|+|x-2|＞4m．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（x+2）=m-|x|，故由f（x+2）≥0 可得-m≤x≤m．再根據f（x+2）≥0的解集為[-1，1]，可得m的值．
（2）分當x≤-1時、當-1＜x≤2時、當x＞2時三種情況，分別去掉絕對值，求得不等式的解集，再把所得解集取并集，即得所求．

解答：解：（1）∵由題意可得f（x+2）=m-|x|，故由f（x+2）≥0 可得|x|≤m，即-m≤x≤m，∴m＞0．
再根據f（x+2）≥0的解集為[-1，1]，可得m=1．
（2）當x≤-1時，原不等式可化為：1-2x＞4，解之得：x＜-

3

2

；
當-1＜x≤2時，原不等式可化為：3＞4，此時不等式無解；
當x＞2時，原不等式可化為：2x-1＞4，解之得：x＞

5

2

；
綜上：此不等式的解集為{x|x＜-

3

2

或x＞

5

2

}．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．